Pomer objemov podobných telies

Pomer objemov podobných telies

Táto 3D scénka vám ukáže súvislosť medzi pomerom podobnosti a pomerom objemu geometrických telies.

Matematika

Kľúčové slová

hlasitosť, Guľa, Ihlan, Kocka, Kváder, rotačný kužeľ, pomer, Povrch, vzorec, rádius, Výška, pravidelný štvorboký ihlan, hrana, základná doska, priestorové teleso, priestor, podobnosť, középpont, geometria, geometria priestoru, matematika

Súvisiace extra

Scénky

Kváder

  • a
  • b
  • c
  • 2a
  • 2b
  • 2c
  • 3a
  • 3b
  • 3c

Kváder je kolmý hranol, ktorého podstavu tvorí obdĺžnik. Objem kvádra sa vypočíta ako súčin dĺžok jeho troch hrán (a, b, c) vychádzajúcich z jedného vrchola.

Ak kváder zväčšíme použitím koeficientu mierky λ = 2, dĺžky jeho hrán sa zdvojnásobia. Nakoľko sa všetky tri činitele súčinu, ktorý určuje objem, zdvojnásobili, objem zväčšeného kvádra je osemkrát väčší ako objem pôvodného kvádra.

Ak kváder zväčšíme použitím koeficientu mierky λ = 3, dĺžky jeho hrán sa strojnásobia. Nakoľko sa všetky tri činitele súčinu, ktorý určuje objem, strojnásobili, objem zväčšeného kvádra je dvadsaťsedemkrát väčší ako objem pôvodného kvádra.

Vo všeobecnosti platí, že ak kváder zväčšíme použitím koeficientu mierky λ, objem kvádra sa zväčší na λ³-násobok.

Kocka

  • a
  • 2a
  • 3a

Kocka je taký kváder, ktorého všetky steny(zhodnými) štvorcami. Je jedným z piatich pravidelných (platónskych) telies. Objem kocky sa vypočíta ako súčin dĺžok jej troch hrán (a, a, a) vychádzajúcich z jedného vrchola, čiže ako tretia mocnina dĺžky hrany.

Ak kocku zväčšíme použitím koeficientu mierky λ = 2, dĺžka jej hrany sa zdvojnásobí. Nakoľko sa základ mocniny, ktorá určuje objem, zdvojnásobil, objem zväčšenej kocky je osemkrát väčší ako objem pôvodnej kocky.

Ak kocku zväčšíme použitím koeficientu mierky λ = 3, dĺžka jej hrany sa strojnásobí. Nakoľko sa základ mocniny, ktorá určuje objem, strojnásobil, objem zväčšenej kocky je dvadsaťsedemkrát väčší ako objem pôvodnej kocky.

Vo všeobecnosti platí, že ak kocku zväčšíme použitím koeficientu mierky λ, objem kocky sa zväčší na λ³-násobok.

Pravidelný štvorboký ihlan

  • a
  • b
  • v
  • 2a
  • 2b
  • 2v
  • 3a
  • 3b
  • 3v

Pravidelný štvorboký ihlan je taký ihlan, ktorého podstava je štvorec a jeho bočné stenyzhodné rovnoramenné trojuholníky. Objem pravidelného štvorbokého ihlanu sa vypočíta ako tretina súčinu obsahu jeho podstavy (druhá mocnina podstavnej hrany: a²) a výšky (v).

Ak pravidelný štvorboký ihlan zväčšíme použitím koeficientu mierky λ = 2, dĺžka jeho podstavnej hrany a výšky sa zdvojnásobí. Nakoľko sa vo vzorci pre výpočet objemu zdvojnásobil základ mocniny a takisto druhý činiteľ, objem zväčšeného pravidelného štvorbokého ihlanu je osemkrát väčší ako objem pôvodného pravidelného štvorbokého ihlanu.

Ak pravidelný štvorboký ihlan zväčšíme použitím koeficientu mierky λ = 3, dĺžka jeho podstavnej hrany a výšky sa strojnásobí. Nakoľko sa vo vzorci pre výpočet objemu strojnásobil základ mocniny a takisto druhý činiteľ, objem zväčšeného pravidelného štvorbokého ihlanu je dvadsaťsedemkrát väčší ako objem pôvodného pravidelného štvorbokého ihlanu.

Vo všeobecnosti platí, že ak pravidelný štvorboký ihlan zväčšíme použitím koeficientu mierky λ, objem pravidelného štvorbokého ihlana sa zväčší na λ³-násobok.

Kolmý kruhový kužeľ

  • r
  • v
  • 2r
  • 2v
  • 3r
  • 3v

Kolmý kruhový kužeľ je taký kužeľ, ktorého podstava je kruh a kolmé zobrazenie vrcholu na podstavu je zhodné so stredom podstavy. Objem kolmého kruhového kužeľa je tretinou súčinu obsahu jeho podstavy (r²π) a výšky (v).

Ak kolmý kruhový kužeľ zväčšíme použitím koeficientu mierky λ = 2, dĺžka polomeru jeho podstavy a výšky sa zdvojnásobí. Nakoľko sa vo vzorci pre výpočet objemu zdvojnásobil základ mocniny a takisto druhý činiteľ, objem zväčšeného kolmého kruhového kužeľa je osemkrát väčší ako objem pôvodného kolmého kruhového kužeľa.

Ak kolmý kruhový kužeľ zväčšíme použitím koeficientu mierky λ = 3, dĺžka polomeru jeho podstavy a výšky sa strojnásobí. Nakoľko sa vo vzorci pre výpočet objemu strojnásobil základ mocniny a takisto druhý činiteľ, objem zväčšeného kolmého kruhového kužeľa je dvadsaťsedemkrát väčší ako objem pôvodného kolmého kruhového kužeľa.

Vo všeobecnosti platí, že ak kolmý kruhový kužeľ zväčšíme použitím koeficientu mierky λ, objem kolmého kruhového kužeľa sa zväčší na λ³-násobok.

Guľa

  • r
  • 2r
  • 3r

Guľa je množinou tých priestorových bodov, ktoré majú rovnakú vzdialenosť (polomer gule: r) od daného bodu v priestore (stred gule: O). Objem gule vypočítame ako 4/3 súčinu π a tretej mocniny jej polomeru.

Ak guľu zväčšíme použitím koeficientu mierky λ = 2, dĺžka jej polomeru sa zdvojnásobí. Nakoľko sa vo vzorci pre výpočet objemu zdvojnásobil základ mocniny, objem zväčšenej gule je osemkrát väčší ako objem pôvodnej gule.

Ak guľu zväčšíme použitím koeficientu mierky λ = 3, dĺžka jej polomeru sa strojnásobí. Nakoľko sa vo vzorci pre výpočet objemu strojnásobil základ mocniny, objem zväčšenej gule je dvadsaťsedemkrát väčší ako objem pôvodnej gule.

Vo všeobecnosti platí, že ak guľu zväčšíme použitím koeficientu mierky λ, objem gule sa zväčší na λ³-násobok.

Súvisiace extra

Výpočet obvodu, obsahu, povrchu a objemu

V animácii sa zoznámite so vzorcami na výpočet obvodu a obsahu rovinných útvarov, povrchu a objemu telies.

Objem gule (Cavalieriho princíp)

Výpočítať objem gule je možné pomocou vhodného valca a kužeľa.

Objem gule (ukážka)

Súčet objemu "tetraéderov" udáva približný objem gule.

Kocka

Táto animácia prezentuje komponenty (vrcholy, hrany, strany) kocky jednej z Platónskych telies.

Kužeľovité telesá

Táto animácie prezentuje rôzne typy kužeľovitých telies a pyramíd.

Kváder

Kváder je mnohosten, ktorého steny tvorí šesť pravouhlých štvoruholníkov.

Objem štvorstena

Pri výpočte objemu štvorstena vychádzame výpočtom objemu hranola.

Objem a povrch (cvičenie)

Cvičenie o objeme a povrchu telesa zo "základnej kocky", rozvíjajú aj priestorové videnie.

Pravidelný štvorboký ihlan

Pravidelný štvorboký ihlan je priamy ihlan so štvorcovou podstavou.

Rôzne skupiny kvádrov

Táto animácia prezentuje rôzne typy kvádrov prostredníctvom každodenných predmetov.

Zoskupenie telies

Táto animácia prezentuje rôzne skupiny priestorových telies pomocou príkladov.

Zoskupenie telies 1

Táto animácia prezentuje rôzne skupiny priestorových telies pomocou príkladov.

Zoskupenie telies 2

Táto animácia prezentuje rôzne skupiny priestorových telies pomocou príkladov.

Zoskupenie telies 3

Táto animácia prezentuje rôzne skupiny priestorových telies pomocou príkladov.

Zoskupenie telies 4

Táto animácia prezentuje rôzne skupiny priestorových telies pomocou príkladov.

Added to your cart.