Rapporto tra i volumi dei solidi simili

Rapporto tra i volumi dei solidi simili

Questa animazione illustra la correlazione tra il rapporto di similitudine e il rapporto del volume dei solidi geometrici.

Matematica

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Scene

Cuboide

  • a
  • b
  • c
  • 2a
  • 2b
  • 2c
  • 3a
  • 3b
  • 3c

Un cuboide (parallelepipedo rettangolo) è un prisma retto con una base rettangolare. Il volume di un cuboide è il prodotto delle lunghezze dei tre spigoli che si incontrano in un vertice, ovvero il prodotto dell'altezza, della larghezza e della lunghezza, indicate come a, b, c.

Se ingrandiamo un cuboide per un fattore di scala di 2, le lunghezze degli spigoli saranno raddoppiate. Poiché i 3 fattori nella formula per il volume del cuboide vengono raddoppiati, il volume del cuboide ingrandito è di 8 volte maggiore rispetto a quello del cuboide originale.

Se ingrandiamo un cuboide per un fattore di scala di 3, le lunghezze degli spigoli saranno triplicate. Poiché i 3 fattori nella formula per il volume del cuboide vengono triplicati, il volume del cuboide ingrandito è di 27 volte maggiore rispetto a quello del cuboide originale.

In generale se si ingrandisce un cuboide per un fattore di scala λ, il volume aumenta di λ³.

Cubo

  • a
  • 2a
  • 3a

Un cubo è un parallelepipedo con facce quadrate. È uno dei cinque solidi platonici. Il volume di un cubo è il prodotto delle lunghezze degli tre spigoli che si incontrano in un vertice, ovvero il cubo della lunghezza dello spigolo a.

Se ingrandiamo un cubo per un fattore di scala di 2, la lunghezza dello spigolo sarà raddoppiata. Poiché la base della potenza nella formula per il volume del cubo viene raddoppiata, il volume del cubo ingrandito risulta 8 volte maggiore rispetto a quello del cubo originale.

Se ingrandiamo un cubo per un fattore di scala di 3, la lunghezza dello spigolo sarà triplicata. Poiché la base della potenza nella formula per il volume del cubo viene triplicata, il volume del cubo ingrandito risulta 27 volte maggiore rispetto a quello del cubo originale.

In generale se si ingrandisce un cubo per un fattore di scala λ, il volume aumenta di λ³.

Piramide quadrata regolare

  • a
  • b
  • h
  • 2a
  • 2b
  • 2h
  • 3a
  • 3b
  • 3h

Una piramide quadrata regolare è una piramide con una base quadrata e triangoli isosceli congruenti come facce laterali. Il volume di una piramide quadrata regolare è un terzo del prodotto della sua area di base (il quadrato dello spigolo di base: ) per la sua altezza (h).

Se si ingrandisce una piramide quadrata regolare per un fattore di scala di 2, sia la lunghezza del suo spigolo di base che la sua altezza saranno raddoppiate. Poiché sia la base della potenza che l'altro fattore nella formula per il volume della piramide vengono raddoppiati, il volume della piramide ingrandita risulta 8 volte maggiore rispetto a quello dell'originale.

Se si ingrandisce una piramide quadrata regolare per un fattore di scala di 3, sia la lunghezza del suo spigolo di base che la sua altezza saranno triplicate. Poiché sia la base della potenza che l'altro fattore nella formula della piramide vengono triplicati, il volume della piramide ingrandita risulta 27 volte maggiore rispetto a quello dell'originale.

In generale se si ingrandisce una piramide quadrata regolare per un fattore di scala λ, il volume aumenta di λ³.

Cono circolare retto

  • r
  • h
  • 2r
  • 2h
  • 3r
  • 3h

Un cono circolare retto è un cono con una base circolare in cui la proiezione ortogonale dell'apice sulla base inferiore coincide con il centro della base. Il volume di un cono circolare retto è un terzo del prodotto della sua area di base (r²π) e della sua altezza (h).

Se si ingrandisce un cono circolare retto per un fattore di scala di 2, sia il raggio della base che l'altezza saranno raddoppiati. Poiché sia ​​la base della potenza che l'altro fattore nella formula del cono vengono raddoppiati, il volume del cono circolare retto ingrandito risulta 8 volte maggiore rispetto a quello dell'originale.

Se ingrandiamo un cono circolare retto di un fattore di scala λ di 3, sia il raggio della base che l'altezza saranno triplicati. Poiché sia ​​la base della potenza che l'altro fattore nella formula del volume del cono vengono triplicati, il volume del cono circolare retto ingrandito risulta 27 volte maggiore rispetto a quello dell'originale.

In generale se si ingrandisce un cono circolare retto per un fattore di scala λ, il suo volume aumenta di λ³.

Sfera

  • r
  • 2r
  • 3r

Una sfera è un insieme di punti equidistanti da un dato punto nello spazio (il centro della sfera, O). Il volume di una sfera è pari a quattro terzi del prodotto di π e del cubo del raggio della sfera.

Se ingrandiamo una sfera per un fattore di scala di 2, la lunghezza del suo raggio sarà raddoppiata. Poiché la base della potenza nella formula per il volume della sfera viene raddoppiata, il volume della sfera ingrandita risulta 8 volte maggiore rispetto a quello dell'originale.

Se ingrandiamo una sfera con un fattore di scala λ di 3, la lunghezza del suo raggio sarà triplicata. Poiché la base della potenza nella formula per il volume della sfera viene triplicata, il volume della sfera ingrandita risulta 27 volte maggiore rispetto a quello dell'originale.

In generale se si ingrandisce una sfera con un fattore di scala λ, il suo volume aumenta di λ³.

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