Kerület- , terület-, felszín- és térfogatszámítás

Kerület- , terület-, felszín- és térfogatszámítás

Az animáció segítségével síkidomok kerület- és területszámításával és testek felszín- és térfogatszámításának módszerével ismerkedhetünk meg.

Matematika

Címkék

térfogat, felszín, kerület, terület, gömb, gúla, henger, körcikk, kör, háromszög, téglalap, négyzet, kúp, téglatest, alapterület, palást, paralelogramma, képlet, geometria, térgeometria, matematika

Kapcsolódó extrák

Jelenetek

Síkidomok kerülete

A síkidom egy vonalak által határolt zárt síkrész. (Pontosabban: olyan síkbeli alakzat, mely nem nyitott, nem lyukas és egy pontját elvéve nem esik szét.)

A síkidom kerülete alatt a síkidomot határoló vonalak hosszának összegét értjük.

A négyzetnek minden oldala egyenlő hosszú, ezért kerülete az oldalhosszúság négyszerese.

A téglalap szemközti oldalai egyenlők, ezért kerülete az egy csúcsból induló oldalak összegének a kétszerese.

A háromszög kerülete három oldalának összege. Speciális (egyenlő szárú, egyenlő oldalú) háromszög esetében a formula egyszerűbb alakot ölt.

A kör kerületét (vagyis a körvonal hosszát) úgy számíthatjuk ki, hogy az átmérőjének hosszát megszorozzuk a π-vel. (Pontosabban a kerület és az átmérő hányadosa minden kör esetében állandó. Ez az állandó a π.)

A körcikk kerülete a körív hosszának és a sugárhossz kétszeresének az összege. (A körív hossza kiszámítható a kör kerületéből, arányosság segítségével.)

Síkidomok területe

A síkidom egy vonalak által határolt zárt síkrész. (Pontosabban: olyan síkbeli alakzat, mely nem nyitott, nem lyukas és egy pontját elvéve nem esik szét.)

A terület egy függvény, mely minden síkidomhoz hozzárendel egy pozitív számot a következők teljesülése mellett:
1. Az egységnégyzet területe 1.
2. Az egybevágó síkidomok területe egyenlő.
3. Ha egy síkidomot részsíkidomokra darabolunk, akkor a részsíkidomok területének összege a síkidom területével egyenlő.

A téglalap területe kiszámítható az egy csúcsból induló két oldal szorzataként.

A háromszög területe egyenlő az egyik oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának felével. (Ez a formula a paralelogramma területképletéből származtatható.)

A paralelogramma területe kiszámítható az egyik oldal és a hozzá tartozó magasság szorzataként.

A trapéz területének kiszámításához szorozzuk meg az alapok összegének felét a magassággal!

A kör területét úgy kaphatjuk meg, hogy a sugarának négyzetét megszorozzuk a π-vel.

A körcikk területe kiszámítható a kör területéből, a körcikkhez tartozó központi szög és a teljesszög arányának segítségével.

Testek felszíne

A mértani (vagy geometriai) test egy felületek által határolt térrész. (Vagyis olyan háromdimenziós alakzat, melyet felületek határolnak.)

A henger felszínét úgy számíthatjuk ki, hogy az alaplap területének kétszereséhez hozzáadjuk a palást területét. Az egyenes körhenger alaplapja egy körlap. Palástja kiterítve egy olyan téglalap, melynek egyik oldala az alapkör kerülete, másik oldala pedig a testmagasság.

A kúp felszíne az alaplap és a palást területének összegével egyenlő. Az egyenes körkúp alaplapja egy körlap. Palástja kiterítve egy olyan körcikk, melynek sugara a kúp alkotója, köríve pedig a kúp alapkörének kerülete.

Ha a gömb főkörének területét megszorozzuk néggyel, akkor a gömb felszínét kapjuk. (A főkör sugara megegyezik a gömb sugarával.)

A gúla felszíne úgy számítható ki, hogy az alaplap területéhez hozzáadjuk a palástot. (A kiterített palást alakja a gúla jellegétől függ.)

A téglatest lapjai olyan téglalapok, melyek közül a szemköztiek egybevágók. Így a téglatest felszíne kiszámítható úgy, hogy páronként összeszorozzuk a három, egy csúcsból kiinduló él hosszát, majd a keletkező három szorzatot összeadjuk, végül megszorozzuk az összeget 2-vel.

Testek térfogata

A mértani (vagy geometriai) test egy felületek által határolt térrész. (Vagyis olyan háromdimenziós alakzat, melyet felületek határolnak.)

A térfogat egy függvény, mely minden testhez hozzárendel egy pozitív számot a következők teljesülése mellett:
1. Az egységkocka térfogata 1.
2. Az egybevágó testek térfogata egyenlő.
3. Ha egy testet résztestekre darabolunk, akkor a résztestek térfogatának összege a test térfogatával egyenlő.

A henger térfogata egyenlő az alaplap területének és a testmagasságnak a szorzatával. Körhenger esetén az alaplap egy körlap.

A kúp térfogata a köré írható henger térfogatának harmadával egyenlő. Ezért úgy számítható ki, hogy összeszorozzuk az alaplap területét a testmagassággal, majd a szorzatot elosztjuk 3-mal. Körkúp esetén az alaplap egy körlap.

A gömb térfogata a gömb köré írható henger térfogatának a kétharmad része. A köré írható henger alaplapjának területe a gömb főkörének területével, a henger testmagassága pedig a gömb átmérőjével egyenlő.

A gúla térfogata a vele egybevágó alaplapú és egyenlő magasságú hasáb térfogatának a harmada. Ezért úgy számítható ki, hogy az alapterület és a magasság szorzatát el kell osztani 3-mal.

A téglatest térfogata az egy csúcsból induló három élének szorzatával egyenlő.

Kapcsolódó extrák

Kúpszeletek

A kúpszelet olyan síkgörbe, mely egy egyenes körkúp síkkal való metszeteként jön létre.

Térbeli koordináta-rendszer

Koordináta-rendszer a térben magyarázó ábrákkal és térszemléletet fejlesztő feladattal.

A testek csoportosítása 1.

Az animáció a térbeli testek csoportosítási lehetőségeit mutatja be konkrét példák...

A testek csoportosítása 3.

Az animáció a térbeli testek csoportosítási lehetőségeit mutatja be konkrét példák...

Torony magasságának megmérése

Egy régi víztorony magasságának kiszámítása mérőszalag és sok-sok napfény segítségével.

Kúpszerű testek

A kúpszerű testek típusaival, kúpokkal, gúlákkal és ezek származtatásával ismerkedhetünk.

Fény és árnyék

Fényforrás változtatásával tanulmányozhatod a koordináta rendszer síkjaira vettet árnyékokat.

Téglatest (feladatok)

A téglatest csúcsai segítségével egyértelműen azonosíthatók az élek, az átlók és a lapok.

Kosárba helyezve!