Relación entre los volúmenes de sólidos semejantes

Relación entre los volúmenes de sólidos semejantes

Con la ayuda de la animación se puede visualizar la relación entre la razón de semejanza y el cambio del volumen de los sólidos geométricos.

Matemáticas

Palabras clave

volumen, esfera, pirámide, cubo, ortoedro, cono circular recto, proporción, superficie, fórmula, radio, altura, pirámide cuadrangular regular, arista, placa madre, figura sólida, espacio, semejanza, középpont, geometría, geometría del espacio, matemáticas

Extras relacionados

Escenas

Ortoedro

  • a
  • b
  • c
  • 2a
  • 2b
  • 2c
  • 3a
  • 3b
  • 3c

El ortoedro es un prisma recto cuya base es un rectángulo. El volumen de un ortoedro es el producto de las longitudes de las tres aristas (a, b, c) que se unen en un vértice, es decir, la altura, la longitud y el ancho del ortoedro.

Si aumentamos el tamaño de un otroedro por un factor de escala de 2, se duplica la longitud de sus aristas. Como se duplican los tres factores de multiplicación que determinan la fórmula del volumen del ortoedro, el volumen del otroedro aumentado en tamaño es 8 veces el volumen del original.

Si aumentamos el tamaño de un otroedro por un factor de escala de 3, se triplica la longitud de sus aristas. Como se triplican los tres factores de multiplicación que determinan la fórmula del volumen del ortoedro, el volumen del otroedro aumentado en tamaño es 27 veces el volumen del original.

Por lo general, si en un ortoedro realizamos una transformación de semejanza por una razón λ, el volumen del ortoedro crece hasta el cubo de la razón, λ³.

Cubo

  • a
  • 2a
  • 3a

El cubo es un ortoedro con caras cuadradas (congruentes). Es uno de los cinco sólidos platónicos. El volumen de un cubo es el producto de las longitudes de las tres aristas que se unen en un vértice, es decir, la longitud de su arista (a) elevada al cubo.

Si aumentamos el tamaño de un cubo por un factor de escala de 2, se duplica la longitud de arista. Como se duplica la base de la potencia que determina la fórmula del volumen del cubo, el volumen del cubo aumentado en tamaño es 8 veces el volumen del original.

Si aumentamos el tamaño de un cubo por un factor de escala de 3, se triplica la longitud de arista. Como se triplica la base de la potencia que determina la fórmula del volumen del cubo, el volumen del cubo aumentado en tamaño es 27 veces el volumen del original.

Por lo general, si en un cubo realizamos una transformación de semejanza por una razón λ, el volumen del cubo crece hasta el cubo de la razón, λ³.

Pirámide cuadrangular regular

  • a
  • b
  • h
  • 2a
  • 2b
  • 2h
  • 3a
  • 3b
  • 3h

La pirámide cuadrangular regular es una pirámide con base cuadrada y triángulos isósceles congruentes como caras laterales. El volumen de una pirámide cuadrangular regular es un tercio del producto del área de su base (la arista al cuadrado: a²) por su altura (h).

Si aumentamos el tamaño de una pirámide cuadrangular regular por un factor de escala de 2, se duplican tanto la longitud de arista como su altura. Como se duplican tanto la base de la potencia como el otro factor de la fórmula del volumen de la pirámide, el volumen de la pirámide aumentada en tamaño es 8 veces el volumen de la original.

Si aumentamos el tamaño de una pirámide cuadrangular regular por un factor de escala de 3, se triplican tanto la longitud de arista como su altura. Como se triplican tanto la base de la potencia como el otro factor de la fórmula del volumen de la pirámide, el volumen de la pirámide aumentada en tamaño es 27 veces el volumen de la original.

Por lo general, si en una pirámide cuadrangular regular realizamos una transformación de semejanza por una razón λ, el volumen de la pirámide cuadrangular regular crece hasta el cubo de la razón, λ³.

Cono circular recto

  • r
  • h
  • 2r
  • 2h
  • 3r
  • 3h

El cono circular recto es un cono con una base circular, cuyo vértice proyectado ortogonalmente sobre la base coincide con el centro de la base circular. El volumen de un cono circular recto es un tercio del producto del área de su base (r²π) por su altura (h).

Si aumentamos el tamaño de un cono circular recto por un factor de escala de 2, se duplican tanto el radio de su base como su altura. Como se duplican tanto la base de la potencia como el otro factor de la fórmula del volumen del cono, el volumen del cono aumentado en tamaño es 8 veces el volumen del original.

Si aumentamos el tamaño de un cono circular recto por un factor de escala de 3, se triplican tanto el radio de su base como su altura. Como se triplican tanto la base de la potencia como el otro factor de la fórmula del volumen del cono, el volumen del cono aumentado en tamaño es 27 veces el volumen del original.

Por lo general, si en un cono circular recto realizamos una transformación de semejanza por una razón λ, el volumen de la pirámide cuadrangular regular crece hasta el cubo de la razón, λ³.

Esfera

  • r
  • 2r
  • 3r

La esfera es un conjunto de puntos en el espacio que equidistan de un punto dado en el espacio (el centro de la esfera, O). El volumen de la esfera es igual a cuatro tercios del producto de π por el cubo del radio de la esfera.

Si aumentamos el tamaño de una esfera por un factor de escala de 2, se duplica la longitud de su radio. Como se duplica la base de la potencia que determina la fórmula del volumen de la esfera, el volumen de la esfera aumentada en tamaño es 8 veces el volumen de la original.

Si aumentamos el tamaño de una esfera por un factor de escala de 3, se triplica la longitud de su radio. Como se triplica la base de la potencia que determina la fórmula del volumen de la esfera, el volumen de la esfera aumentada en tamaño es 27 veces el volumen de la original.

Por lo general, si en una esfera realizamos una transformación de semejanza por una razón λ, el volumen de la esfera crece hasta el cubo de la razón, λ³.

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